Міністерство освіти і науки молоді та спорту України
Черкаський державний технологічній університет
Кафедра радіотехніки
Звіт
з лабораторної роботи №3
з дисципліни
«Математичні методи обчислення»
Перевірив:
ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 3
ІНТЕРПОЛЯЦІЯ ФУНКЦІЙ
Мета роботи: опанувати чисельні методи інтерполяції функцій поліномами Лагранжа й Ньютона.
1. Стислі теоретичні відомості
Інтерполяцію функцій застосовують, коли деяка функція задана таблично скінченою множиною x: і потрібно визначити значення для проміжних значень аргументу -. В цьому разі будують функцію (достатньо просту для обчислень), яка в точках набуває значення . В інших точках наближено становить функцію з тією чи іншою точністю (рис. 4.1).
Рисунок 4.1
Точки називають вузлами інтерполяції, функцію - інтерполювальною функцією, а задачу побудови - задачею інтерполяції.
Зазначені вище властивості інтерполювальної функції має поліном Лагранжа:
. (4.1)
Поліном Лагранжа незручний у використанні тим, що при зміні кількості вузлів інтерполяції n, його треба будувати знову. Однак поліном Лагранжа використовується в загальному випадку для довільно заданих вузлів інтерполяції.
Інтерполяційний поліном Ньютона не має цього недоліку. При зміні степеня n необхідно лише тільки додати або відкинути відповідну кількість стандартних доданків:
(4.2)
Тут - розділена різниця першого порядку;
- розділена різниця другого порядку;
- розділена різниця n-го порядку.
Часто інтерполювання необхідно проводити для функції, що задана у рівновіддалених вузлах, тобто
. (4.3)
Для таких таблиць інтерполяційні формули значно спрощуються:
а) перша інтерполяційна формула Ньютона
(4.4)
де
- скінчена різниця першого порядку,
- скінчена різниця другого порядку,
- скінчена різниця n-го порядку.
Ця формула використовується для інтерполювання на початку відрізка інтерполяції, коли q мале за модулем.
Коли значення аргументу знаходиться ближче до кінця відрізку інтерполяції, використовується формула для інтерполювання назад –
б) друга інтерполяційна формула Ньютона
(4.5)
де .
Хід роботи:
1. Використовуючи інтерполяційні поліноми Лагранжа й Ньютона, знайти наближене значення функції у точці . Функція задана таблично. Вузли інтерполяції не рівновіддалені.
Варіант 5:
5.
x
3,2
3,6
5,8
5,9
6,2
x = 4,0
y
5,3
6,0
2,4
-1,0
-3,2
Використовуємо для розрахунку формулу :
Підставимо наближене значення функції у точці =4,0
2. Використовуючи першу або другу інтерполяційні формули Ньютона, знайти наближене значення функції у точках . Функція задана таблично
5.
х
2,7
2,75
2,8
2,85
2,9
2,95
x1= 2,72; x2= 2,93
y
1,58
1,49
1,37
1,24
1,08
0,91
Використаємо першу інтерполяційну формулу Ньютона:
де
x
y
Δyi
Δ2yi
Δ3yi
2.7
1.58
-0.09
-0.03
0.02
2.75
1.49
-0.12
-0.01
-0.02
2.8
1.37
-0.13
-0.03
0.02
2.85
1.24
-0.16
-0.01
2.9
1.08
-0.17
2.95
0.91
Всі потрібні дані для першої інтерполяційної формули одержані, далі розраховуємо:
Приклад програми перевірки
Знайти наближене значення функції у точці .
5.
x
3,2
3,6
5,8
5,9
6,2
x = 4,0
y
5,3
6,0
2,4
-1,0
-3,2
Розв'язування
Висновок: при виконанні даної лабораторної роботи я опанував чисельні методи інтерполяції функцій поліномами Лагранжа й Ньютона, ознайомився з їхніми властивостями застосування відповідно вузлів інтерполяції та виконав індивідуальне завдання.
